Question

【題目】(2015·江蘇）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1 ， 設AB1的中點為D，B1CBC1=E.求證:

（1）DE∥平面AA1C1C
（2）BC1⊥AB1

Answer 1

【答案】
（1）

見解析。

（2）

見解析。

【解析】由三棱錐性質知側面BB1C1C為平行四邊形,因此點E為B1C的中點，從而由三角形中位線性質得DE∥AC,，再由線面平行判定定理得DE∥平面AA1C1C（2）因為直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1所以側面BB1C1C為正方形，因此BC1⊥B1C，又，AC⊥BC, AC⊥CC1（可由直三棱柱推導），因此由線面垂直判定定理得AC⊥平面BB1C1C,從而AC⊥BC1 ， 再由線面垂直判定定理得BC1⊥平面AB1C, 進而可得BC1⊥AB1.
（1）由題意知，E為B1C的中點，又D為A1B的中點，因此DE∥AC。 又因為DE平面AA1C1C, AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C。
（2）因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC， 所以AC⊥CC1，又因為AC⊥BC, CC1平面BCC1B1 ， BCBCC1B1, BCCC1=C,
所以AC⊥平面BCC1B1 ， 又因為BC1BCC1B1， 所以BC1⊥B1C.
因為AC, B1C平面B1AC, AC1C=C, 所以BC1⊥平面B1AC。 又因為AB1平面B1AC， 所以BC1⊥AB1。

【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．