Question

【題目】(2015·陜西）設fn(x)=x+x2+x...+xn-1, nN, n≥2。
（1）fn'(2)
（2）證明:fn(x)在（0，）內有且僅有一個零點（記為an)， 且0<an-<()n.

Answer 1

【答案】
（1）

fn'(2)=（n-1）2n+1

（2）

見解析。

【解析】
（1）由題設fn'(x)=1+2x+...+nxn-1, 所以fn'(2)=1+2x2+...+n2n-1, 此式等價于數列{n·2n-1}的前n項和， 由錯位相減法得fn'(2)=（n-1）2n+1。
（2）因為f(0)=-1<0, fn'()=1-2x()n≥1-2x()2>0, 所以fn(x)在在（0，）內至少存在一個零點，又fn'(x)=1+2x+...+nxn-1>0, 所以fn(x)在（0，）內單調遞增， 因此，fn(x)在（0，）內有且只有一個零點an, 由于fn(x)=-1, 所以0=fn(an)=-1, 由此可得an=+ann+1>,故<an<, 繼而得0<an-=ann+1<x()n+1=x()n