Question

設函數y=f（x）定義在R上，對于任意實數m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1
（1）求證：f（0）=1且當x＜0時，f（x）＞1
（2）求證：f（x）在R上是減函數；
（3）設集合A=（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1，B=（x，y）|y=a，
且A∩B=∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）用賦值法求f（0），在構造-x＞0時對應的f（-x），可得x＜0時，f（x）＞1．
（2）利用定義來證，將f（x₁）-f（x₂）轉化為[f（x₁-x₂）-1]•f（x₂）再利用在R上f（x）＞0即可．
（3）先利用f（-x²+6x-1）•f（y）=1找到x，y的關系y=x²-6x+1，再利用A∩B=∅，求出a．
解答：（1）證明：∵f（m+n）=f（m）•f（n），m、n為任意實數，
取m=0，n=2，則有f（0+2）=f（0）•f（2）
∵當x＞0時，0＜f（x）＜1，
∴f（2）≠0，∴f（0）=1
當x＜0時，-x＞0
∴0＜f（-x）＜1，則
取m=x，n=-x，則f（x-x）=f（0）=f（x）•f（-x）=1
則f（x-x）=f（0）=f（x）•f（-x）=1∴（6分）
（2）證明：由（1）及題設可知，在R上f（x）＞0設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0⇒f（x₁-x₂）＞1∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）•f（x₂）-f（x₂）=[f（x₁-x₂）-1]•f（x₂）（8分）
∵f（x₁-x₂）-1＞0，f（x₂）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）在R上是減函數（9分）
（3）解：在集合A中f（-x²+6x-1）•f（y）=1
由已知條件，有f（-x²+6x-1+y）=f（0）∴-x²+6x-1+y=0，即y=x²-6x+1（12分）
在集合B中，有y=a∵A∩B=∅，則拋物線y=x²-6x+1與直線y=a無交點∵y=x²-6x+1=（x-3）²-8，∴y_mim=-8，∴a＜-8
即a的取值范圍是（-∞，-8）（15分）
點評：本題的第一和第二問考查的是抽象函數性質的證明．抽象函數性質的證明是一種代數推理，和幾何推理證明一樣，要注意推理的嚴謹性，每一步推理都要有充分的條件，不可漏掉條件，更不可臆造條件，推理過程要層次分明，書寫規范．