【題目】在所有棱長都相等的三棱柱
中，
.
（1）證明：
；
（2）若二面角
的大小為
，求
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
(1) 連
,
,取線段
的中點
,連接
和
,再證明
平面
即可.
(2)根據(1)可知
是二面角
的平面角,進而找到與平面
所成角再求解即可.或者建立空間直角坐標系,利用空間向量求解線面角的方法求解.
（Ⅰ）連,,取線段的中點,連接和,
∵
和
為等邊三角形,
∴
,
,
又
,∴平面,
∴
.
（Ⅱ）法一：∵,,
∴是二面角的平面角,
∵平面,∴平面
平面,
記與的交點為
,過作
于
,則
平面,
∴
是與平面所成角.
由題意知為的重心,
,
∴
,
,
∴
,∴
,
∴
.
法二：由,以
為
軸,
為
軸,過點平面
的垂線為
軸,如圖建立空間直角坐標系,得
,
,
,
,
,
,
則
,
,
,
設平面的法向量
,
則
,得
,令
得
,
,
則
.
設與平面所成角為
,
,
所以與平面所成角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費對年銷售量(單位：t)的影響.該公司對近5年的年宣傳費和年銷售量數據進行了研究，發現年宣傳費x(萬元)和年銷售量y(單位：t)具有線性相關關系，并對數據作了初步處理，得到下面的一些統計量的值.
(1)根據表中數據建立年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程；
(2)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為
，根據(1)中的結果回答下列問題：
①當年宣傳費為10萬元時，年銷售量及年利潤的預報值是多少?
②估算該公司應該投入多少宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.
附：回歸方程
中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
參考數據：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C:
（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（－
，0）、F2（，0）.點M（1，0）與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點N的坐標為（3，2），點P的坐標為（m，n）（m≠3）.過點M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點，設直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，試求m，n滿足的關系式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為
（m為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為
，直線
與曲線C交于M，N兩點.
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）求|MN|.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知斜率為1的直線
與橢圓
交于
，
兩點，且線段
的中點為
，橢圓
的上頂點為
.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設直線
與橢圓交于
兩點，若直線
與
的斜率之和為2，證明：
過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，側面
是等邊三角形，且平面
平面
，
為
的中點，
,
，
.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）直線
上是否存在點
，使得
平面
?若存在，求出
的值；若不存在，說明理由.
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