Question

如圖所示，設曲線y=

1

x

上的點與x軸上的點順次構成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角頂點在曲線上y=

1

x

，設A_n的坐標為（a_n，0），A₀為原點
（1）求a₁，并求出a_n和a_n-1 n∈N^*之間的關系式；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設bn=

2

an-1+an

(n∈N*)，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題設知a1=

a1

2

+

2

a1

，由此能求出a₁，利用△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點，求出B_n點的橫縱坐標，再根據B_n點為函數y=

1

x

（x＞0）圖象上的點，坐標滿足函數y=

1

x

（x＞0）的解析式，就可得到a_n和a_n-1 之間的關系式．
（2）由（1）知數列{an2}是首項為4，公差為4的等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（3）由b_n=

2

an-1+an

=

1

n + n-1

=

n

-

n-1

，能求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵曲線y=

1

x

上的點與x軸上的點順次構成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角頂點在曲線上y=

1

x

，設A_n的坐標為（a_n，0），A₀為原點，
∴a1=

a1

2

+

2

a1

，
解得a₁=2．
過B_n點作B_nH⊥x軸，垂足為H，
∵△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點，
∴|BnH|=

1

2

|An-1An|=

an-an-1

2

，
∴B_n點的縱坐標為

an-an-1

2

，
∵△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點，
∴H點為線段A_n-1A_n的中點，
∴H點橫坐標為

an+an-1

2

，
∵B_nH⊥x軸，∴B_n點的橫坐標也為

an+an-1

2

，
∵B_n點為函數y=

1

2

（x＞0）圖象上的點，
∴

an-an-1

2

•

an+an-1

2

=1
∴an2-an-12=4．
（2）∵an2-an-12=4，a₁=2，
∴數列{an2}是首項為4，公差為4的等差數列，
∴an2=4n，
∴an=2

n

．
（3）∵b_n=

2

an-1+an

=

1

n + n-1

=

n

-

n-1

，
∴S_n=（

1

-

0

）+（

2

-

1

）+…+（

n

-

n-1

）
=

n

．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意數與函數的綜合應用．