Question

（2012•虹口區(qū)三模）函數(shù)y=2^x和y=x³的圖象的示意圖如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（1）設(shè)曲線C₁，C₂分別對(duì)應(yīng)函數(shù)y=f（x）和y=g（x），請(qǐng)指出圖中曲線C₁，C₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．若不等式kf[g（x）]-g（x）＜0對(duì)任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范圍；
（2）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由題意，C₁對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f（x）=x³，C₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g（x）=2^x ，不等式kf[g（x）]-g（x）＜0，等價(jià)于k•2^3x＜2^x，利用分離參數(shù)法，可求k的取值范圍；
（2）令φ（x）=g（x）-f（x）=2^x-x³，則x₁，x₂為函數(shù)φ（x）的零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可得兩個(gè)零點(diǎn)x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），由此可得a，b的值．

解答：解：（1）由題意，C₁對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f（x）=x³，C₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g（x）=2^x
不等式kf[g（x）]-g（x）＜0，等價(jià)于k•2^3x＜2^x，則k＜4^-x對(duì)任意x∈（0，1）恒成立（4分）
∵4-x∈(

1

4

，1)，∴k≤

1

4

（2）令φ（x）=g（x）-f（x）=2^x-x³，則x₁，x₂為函數(shù)φ（x）的零點(diǎn)，
由于φ（1）=1＞0，φ（2）=-4＜0，φ（9）=2⁹-9³＜0，φ（10）=2¹⁰-10³＞0，
則方程φ（x）=f（x）-g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），
因此整數(shù)a=1，b=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象與解析式，考查函數(shù)的零點(diǎn)，正確運(yùn)用零點(diǎn)存在定理是關(guān)鍵．