Question

過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。  
（Ⅰ）當時，求證：⊥；
（Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求值；若不在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）存在，使得對任意的，都有成立，證明略

解：本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質等平面解析幾何的基礎知識，
考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力。（12分）
依題意，可設直線MN的方程為，則有

由消去x可得                     ……………2分   
從而有          ①
于是    ②
又由，可得  ③…………4分   
（Ⅰ）如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線
此時 ①可得        ……………5分
證法1：
        ……………6分
證法2：
            …………6分
         
(Ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：
證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有
                           ………8分  
   ………10分
將①、②、③代入上式化簡可得

上式恒成立，即對任意成立                                                                                                                 ……………12分
證法2：如圖2，連接,則由可得
,
所以直線經過原點O，同理可證直線也經過原點O  ……………9分
又設
則            …………12分