Question

如圖，設拋物線方程為直線上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B。
（1）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；
（2）已知當M點的坐標為時，，求此時拋物線的方程；
（3）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明：由題意設

由得，則
所以
因此直線MA的方程為直線MB的方程為

所以    ①；    ②
由①-②得，而，因此
所以A、M、B三點的橫坐標成等差數列.
（2）解：由（1）知，當x₀=2時，
將其代入①、②并整理得：　
　　　　　所以　x₁、x₂是方程的兩根，
因此 又 所以
由弦長公式得：
　　　　 又，所以p=1或p=2，
因此所求拋物線方程為或
（3）解：設，由題意得
則CD的中點坐標為
　設直線AB的方程為
　由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，
　代入得
　若在拋物線上，則
　因此　x₃=0或x₃=2x₀.即D(0，0)或
（1）當x₀=0時，則，此時，點M適合題意.
（2）當，對于D(0，0)，此時
　　又AB⊥CD，所以
即矛盾.
對于因為此時直線CD平行于y軸，又
所以直線AB與直線CD不垂直，與題設矛盾，
所以時，不存在符合題意的M點.
綜上所述，僅存在一點M適合題意.

略