Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面， ， ， ， ， ．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若點在棱上，且平面，求線段的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析． （Ⅱ）．（Ⅲ）．

【解析】試題分析：第一問根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)得出線線垂直的結(jié)論，注意在書寫的時候條件不要丟就行；第二問建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量所成角的余弦值來求得二面角的余弦值；第三問利用向量共線的關(guān)系，得出向量的坐標(biāo)，根據(jù)線面平行得出向量垂直，利用其數(shù)量積等于零，求得結(jié)果.

（Ⅰ）證明：因為平面⊥平面，

且平面平面，

因為⊥，且平面

所以⊥平面．

因為平面，

所以⊥．

（Ⅱ）解：在△中，因為， ， ，

所以，所以⊥．

所以，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

所以， ， ，

， ，

， ．

易知平面的一個法向量為．

設(shè)平面的一個法向量為，

則， 即，

令，則．

設(shè)二面角的平面角為，可知為銳角，

則，

即二面角的余弦值為．

（Ⅲ）解：因為點在棱，所以， ．

因為，

所以， ．

又因為平面， 為平面的一個法向量，

所以，即，所以．

所以，所以．