Question

【題目】已知拋物線，點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，過點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)．

（Ⅰ）判斷是否存在實(shí)數(shù)使得四邊形為平行四邊形．若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（Ⅱ）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)直線的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的方程，代入拋物線方程，若四邊形為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)，即，求得的值，結(jié)合，故不存在使得四邊形為平行四邊形；（Ⅱ）計(jì)算出，根據(jù)的取值范圍，即可求得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，設(shè)．

聯(lián)立方程組，得．

顯然，且，即，得且．

得，

， ．

直線的方程為： ，

聯(lián)立方程組，得，

得，

若四邊形為平行四邊形，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即，

得，與且矛盾．

故不存在實(shí)數(shù)使得四邊形為平行四邊形

（Ⅱ）

由且，得；

當(dāng)， 取得最小值；

當(dāng)時(shí)， 取；當(dāng)時(shí)， 取；

所以