Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，點,分別是,的中點.

（1）求證：平面；

（2）若點為棱上一點，且平面平面， 求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析.

【解析】

（1）利用平面法向量和直線的方向向量垂直可得；

（2）先利用平面平面，確定M的位置，再證明垂直.

平面，平面

平面，平面

又因為所以，則兩兩垂直，則以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系

則各點的坐標為

因為點分別是，的中點，所以

（1）證明：設平面的一個法向量為

因為

由得，令所以

則

因為所以

又平面所以平面.

（2）證明：因為為棱上一點，所以

設則，所以

即所以

設平面的一個法向量為則

所以消去可得

令則所以

平面平面 則所以

從而因為所以

則即