Question

【題目】在直角坐標xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為.

（1）求橢圓的直角坐標方程；

（2）已知過的直線與橢圓C交于A，B兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）6

【解析】

（1）直接利用轉換公式將極坐標方程與直角坐標方程進行轉化；

（2）設，，，以及的方程，將的方程與橢圓聯立，分析可得，借助根與系數的關系可以將四邊形面積用表示出來，利用換元法及基本不等式的性質分析可得答案．

（1）曲線的極坐標方程：，

即，

根據

轉換為直角坐標方程為：．

（2）設，，，，，

則由，可得，

即，

△，

則

又因為，

所以四邊形是平行四邊形，，

設平面四邊形的面積為，

則，

設，則，

所以，

因為在上是增函數，

所以，當時等號成立，

故，

，當時等號成立，

所以，，

所以四邊形面積的最大值為6．