Question

【題目】若數列中存在三項，按一定次序排列構成等比數列，則稱為“等比源數列”。

（1）在無窮數列中，，，求數列的通項公式；

（2）在（1）的結論下，試判斷數列是否為“等比源數列”，并證明你的結論；

（3）已知無窮數列為等差數列，且，（），求證：數列為“等比源數列”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不是，證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由，可得出，則數列為等比數列，然后利用等比數列的通項公式可間接求出；

（2）假設數列為“等比源數列”，則此數列中存在三項成等比數列，可得出，展開后得出，然后利用數的奇偶性即可得出結論；

（3）設等差數列的公差為，假設存在三項使得，展開得出，從而可得知，當，時，原命題成立.

（1），得，即，且.

所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，則，

因此，；

（2）數列不是“等比源數列”，下面用反證法來證明.

假設數列是“等比源數列”，則存在三項、、，設.

由于數列為單調遞增的正項數列，則，所以.

得，化簡得，

等式兩邊同時除以得，

，且、、，則，，，，

則為偶數，為奇數，等式不成立.

因此，數列中不存在任何三項，按一定的順序排列構成“等比源數列”；

（3）不妨設等差數列的公差.

當時，等差數列為非零常數列，此時，數列為“等比源數列”；

當時，，則且，數列中必有一項，

為了使得數列為“等比源數列”，只需數列中存在第項、第項使得，

且有，即，

，

當時，即當，時，

等式成立，

所以，數列中存在、、成等比數列，因此，等差數列是“等比源數列”.