Question

【題目】已知,數列、滿足:,,記．

（1）若，，求數列、的通項公式；

（2）證明：數列是等差數列；

（3）定義，證明：若存在，使得、為整數，且有兩個整數零點，則必有無窮多個有兩個整數零點．

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

（3）證明見解析

【解析】

（1）通過、可知數列是首項、公差均為1的等差數列；通過，當時利用計算，進而可得結論；

（2）通過（1）代入計算即得結論；

（3）通過分析可知方程有兩個整數根，利用，只需令為整數即可．

（1）解：，，

數列是首項、公差均為1的等差數列，

；

又，

，

又，

當時，

，

又當時上式成立，

；

（2）證明：，，

，

數列是等差數列；

（3）證明：依題意，方程有兩個整數根，

則，且為整數，

又、為整數，

滿足題意，

必有無窮多個有兩個整數零點．