Question

（1）定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和．如果等和數列{a_n}的首項a₁=a，公和為M，試歸納a₂，a₃，a₄的值，猜想{a_n}的通項公式．
（2）類比“等和數列”猜想“等積數列”{b_n}的首項b₁=b，公積為p的通項公式．
（3）利用（1）和（2）探究是否存在一個數列既是“等和數列”；又是“等積數列”．并舉例說明．

Answer 1

考點：數列的應用,類比推理

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得a₂=M-a，a₃=a，a₄=M-a．由此能求出通項公式．
（2）由“等積數列”{b_n}的首項b₁=b，公積為p，能求出等積數列通項公式．
（3）一個數列既是“等和數列”，又是“等積數列”，必須奇數項相同，同時偶數項也相同，由此能得到常數列a_n=1既是“等和數列”；又是“等積數列”．

解答： 解：（1）∵等和數列{a_n}的首項a₁=a，公和為M，
∴a₂=M-a，a₃=a，a₄=M-a．（3分）
通項公式為a_n=

a，n為奇數 M-a，n為偶數

．（4分）
（2）∵“等積數列”{b_n}的首項b₁=b，公積為p，
∴等積數列通項公式為b_n=

b，n為奇數 q b ，n為偶數

．（8分）
（3）由（1）和（2）知：
一個數列既是“等和數列”，又是“等積數列”，
必須奇數項相同，即a=b，
同時偶數項也相同，即M-a=

p

q

，
∴p=Ma-a²．
例如不妨取a=b=1，則p=M-1，不妨取p=1，則M=2，
即常數列a_n=1既是“等和數列”；又是“等積數列”．（13分）
（沒有利用（1）和（2）探究扣（3分），沒有舉例扣2分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，探究是否存在一個數列既是“等和數列”，又是“等積數列”，是中檔題．