Question

【題目】已知四棱錐的底面為等腰梯形, , 垂足為是四棱錐的高,為中點,設

（1）證明：；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析：（1）以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明·＝0即得PE⊥BC.（2）利用線面角的向量公式求直線與平面所成角的正弦值．

詳解：以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)．

(1)證明：設C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E(， ，0)．

可得＝(， ，－n)，＝(m，－1,0)． 因為·＝- ＋0＝0，

所以PE⊥BC.

(2)由已知條件可得m＝－，n＝1，

故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，

P(0，0,1)．設n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量，

則，即，

因此可以取n＝(1，，0)．

由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝，

所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.