Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系xOy中，雙曲線E的參數方程為 （θ為參數），設E的右焦點為F，經過第一象限的漸進線為l．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求直線l的極坐標方程；
（2）設過F與l垂直的直線與y軸相交于點A，P是l上異于原點O的點，當A，O，F，P四點在同一圓上時，求這個圓的極坐標方程及點P的極坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵雙曲線E的參數方程為 （θ為參數），

∴ ， ，

∴ = =1，

∴雙曲線E的普通方程為 ．

∴直線l在直角坐標系中的方程為y= ，其過原點，傾斜角為 ，

∴l的極坐標方程為 ．

（2）解：由題意A、O、F、P四點共圓等價于P是點A，O，F確定的圓（記為圓C，C為圓心）與直線l的交點（異于原點O），

∵AO⊥OF，∴線段AF為圓C的直徑，

由（Ⅰ）知，|OF|=2，

又A是過F與l垂直的直線與y軸的交點，

∴∠AFO= ，|AF|=4，

于是圓C的半徑為2，圓心的極坐標為（2， ），

∴圓C的極坐標方程為 ，

此時，點P的極坐標為（4cos（ ）， ），即（2 ， ）．

【解析】（1）由雙曲線E的參數方程求出雙曲線E的普通方程為 ．從而求出直線l在直角坐標系中的方程，由此能求出l的極坐標方程．（2）由題意A、O、F、P四點共圓等價于P是點A，O，F確定的圓（記為圓C，C為圓心）與直線l的交點（異于原點O），線段AF為圓C的直徑，A是過F與l垂直的直線與y軸的交點，從而C的半徑為2，圓心的極坐標為（2， ），由此能求出點P的極坐標．