Question

在數列a_n中，已知a₁=a₂=1，a_n+a_n+2=λ+2a_n+1
（1）證明a₁，a₄，a₅成等差數列；
（2）設C_n=2^a_n+2-a_n ，求數列{C_n}的前n項和為S_n
（3）當λ≠0時，數列{a_n-1}中是否存在三項a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比數列，且s，t，p也成等比數列，若存在，求出s，t，p的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a₁=a₂=1，a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，依次求出a₃、a₄、a₅，由等差數列的定義證明a₁，a₄，a₅成等差數列；
（2）由a_n+a_n+2=λ+2a_n+1得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+λ，令b_n=a_n+1-a_n，由等差數列的定義證明數列{b_n}是等差數列，由通項公式求出b_n即a_n+1-a_n的式子，再求出a_n+2-a_n后代入C_n=2^a_n+2-a_n 化簡，對λ分類討論后由等比數列的前n項和公式求出S_n；
（3）由（2）知a_n+1-a_n=（n-1）λ，利用累加法求出a_n，假設存在三項a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比數列，且s，t，p也成等比數列，利用等比中項的性質列出方程，化簡后退出矛盾即可．

解答： 證明：（1）由題意得，a₁=a₂=1，a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，
則a₃=λ+2a₂-a₁=λ+1，
同理，a₄=λ+2a₃-a₂=3λ+1，a₅=λ+2a₄-a₃=6λ+1，
因為a₄-a₁=3λ，a₅-a₄=3λ，所以a₄-a₁=a₅-a₄，
即a₁，a₄，a₅成等差數列；
解：（2）由a_n+a_n+2=λ+2a_n+1得，a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+λ，
令b_n=a_n+1-a_n，則b_n+1-b_n=λ，且b₁=a₂-a₁=0，
所以數列{b_n}是以0為首項、λ為公差的等差數列，
則b_n=b₁+（n-1）λ=（n-1）λ，即a_n+1-a_n=（n-1）λ，
因為a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，所以a_n+2-a_n=2（a_n+1-a_n）+λ=（2n-1）λ，
所以C_n=2^a_n+2-a_n =2^（2n-1）λ，
則S_n=c₁+c₂+…+c_n=2^λ+2^3λ+…+2^（2n-1）λ，
當λ=0時，S_n=n，
當λ≠0時，S_n=

2λ(1-22nλ)

1-22λ

；
（3）由（2）知，a_n+1-a_n=（n-1）λ，當n≥2時，
則a₂-a₁=0，a₃-a₂=λ，a₄-a₃=2λ，…，a_n-a_n-1=（n-2）λ，
以上（n-1）個式子相加得，a_n-a₁=

(n-1)[0+(n-2)λ]

2

=

(n-1)(n-2)λ

2

，
所以a_n=a₁+

(n-1)(n-2)λ

2

=1+

(n-1)(n-2)λ

2

，
當n=1時，也適合上式，
則a_n=1+

(n-1)(n-2)λ

2

，
假設存在三項a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比數列，且s，t，p也成等比數列，
則(at+1-1)2=(as+1-1)(ap+1-1)，即

t2(t-1)2

4

=

s(s-1)(p-1)

4

，
因為s，t，p也成等比數列，所以t²=sp，代入上式化簡得，（t-1）²=（s-1）（p-1），
即2t=s+p，聯立t²=sp，解得s=p=t，
這與題設矛盾，故不存在三項a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比數列，且s，t，p也成等比數列．

點評：本題考查數列的遞推公式的應用，等差數列的定義、通項公式，等比數列的前n項和公式等，考查累加法、分類討論思想、化簡能力，以及存在性問題．