Question

已知圓E與x軸相切，圓心在y軸正半軸上，且被直線x-y=0截得的弦長為2

2

．
（1）求圓E 標準方程；
（2）過定點P（-3，0）的直線交圓E于不同的兩點M，N，在線段MN上取異于M，N的點H（x₀，y₀），滿足

| PM |

| PN |

=

| MH |

| NH |

，試求點H的橫坐標x₀的取值范圍．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）求出圓心到直線x-y=0的距離，即可求出b，從而可得圓E標準方程；
（2）由已知直線MN的斜率一定存在，設(shè)為k，則其方程為y=kx+3k，聯(lián)立方程消去y，P，M，H，N四點共線，將四點都投影到x軸上，則

| PM |

| PN |

=

| MH |

| NH |

，可轉(zhuǎn)化為

x1+3

x2+3

=

x0-x1

x2-x0

，求出x₀=-

6k

2k+3

=-3+

9

2k+3

，即可求點H的橫坐標x₀的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知可設(shè)圓E的圓心（0，b），則半徑為b．
∵圓心到直線x-y=0的距離d=

b2-( 3 2 2 )2

=

|b|

2

，
解得b²=4，b=-2（舍去），b=2，
∴圓E的標準方程為x²+（y-2）²=4．  
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），
由已知直線MN的斜率一定存在，設(shè)為k，則其方程為y=kx+3k，
聯(lián)立方程消去y，得（1+k²）x²+2k（3k-2）x+（3k-2）²-4=0，
于是x₁+x₂=-

2k(3k-2)

1+k2

，x₁x₂=

(3k-2)2-4

1+k2

．①
又P，M，H，N四點共線，將四點都投影到x軸上，
則

| PM |

| PN |

=

| MH |

| NH |

，可轉(zhuǎn)化為

x1+3

x2+3

=

x0-x1

x2-x0

，
將①代入整理得：x₀=-

6k

2k+3

=-3+

9

2k+3

，
由

|-2+3k|

1+k2

＜2，可解得0＜k＜

12

5

，
于是可得-

24

13

＜x₀＜0，滿足-2＜x₀＜2，
∴-

24

13

＜x₀＜0．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．