Question

已知a＞0，b＞0，a+b=1，求

1

2a+1

+

2

b+1

的最小值及此時(shí)a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先化簡(jiǎn)

1

2a+1

+

2

b+1

=

1

2a+1

+

4

2b+2

，而由a+b=1得（2a+1）+（2b+2）=5；從而由基本不等式求最值．

解答： 解：∵

1

2a+1

+

2

b+1

=

1

2a+1

+

4

2b+2

，
又∵a+b=1，∴（2a+1）+（2b+2）=5；
故

1

2a+1

+

2

b+1

=

1

5

[（2a+1）+（2b+2）]（

1

2a+1

+

4

2b+2

）
=

1

5

[5+

4(2a+1)

2b+2

+

2b+2

2a+1

]
≥

1

5

（5+4）=

9

5

；
（當(dāng)且僅當(dāng)

4(2a+1)

2b+2

=

2b+2

2a+1

，a=

1

3

，b=

2

3

時(shí)，等號(hào)成立）；
故

1

2a+1

+

2

b+1

的最小值為

9

5

，此時(shí)a=

1

3

，b=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．