Question

表面積為4

3

的正四面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為（　　）

• A、

  6

  3

  π
• B、

  2 6

  3

  π
• C、

  6

  π
• D、

  6

  27

  π

Answer 1

考點：球的體積和表面積,球內接多面體

專題：空間位置關系與距離

分析：將正四面體補成正方體，再將正方體放在一個球體中，利用它們之間的關系求解．

解答： 解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，
∵表面積為4

3

的正四面體，
正四面體棱長為A，

3

4

a2=

3

，解得a=2，
∴正方體的棱長是

2

，
又∵球的直徑是正方體的對角線，設球半徑是R，
∴2R=

6

，
∴R=

6

2

，
∴球的體積為

4

3

π(

6

2

)3=

6

π．
故選：C．

點評：巧妙構造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉化．若已知正四面體V-ABC的棱長為a，求外接球的半徑，可以構造出一個球的內接正方體，再應用對角線長等于球的直徑可求得．