Question

【題目】設函數f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，
（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣1時，f（x）=|x﹣1|+|x+1|，由f（x）≥3有|x﹣1|+|x+1|≥3

據絕對值幾何意義求解，|x﹣1|+|x+1|≥3幾何意義，是數軸上表示實數x的點距離實數1，﹣1表示的點距離之和不小3，

由于數軸上數﹣ 左側的點與數 右側的點與數﹣1與1的距離之和不小3，

所以所求不等式解集為（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）

（2）解：由絕對值的幾何意義知，數軸上到1的距離與到a的距離之和大于等于2恒成立，則1與a之間的距離必大于等于2，從而有a∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
【解析】（1）當a=﹣1，原不等式變為：|x﹣1|+|x+1|≥3，下面利用對值幾何意義求解，利用數軸上表示實數﹣ 左側的點與表示實數 右側的點與表示實數﹣1與1的點距離之和不小3，從而得到不等式解集．（2）欲求當x∈R，f（x）≥2，a的取值范圍，先對a進行分類討論：a=1；a＜1；a＞1．對后兩種情形，只須求出f（x）的最小值，最后“x∈R，f（x）≥2”的充要條件是|a﹣1|≥2即可求得結果．