Question

設各項為正的數列{a_n}，其前n項和為S_n，并且對所有正整數n，a_n與2的等差中項等于S_n與2的等比中項．
（1）寫出數列{a_n}的前二項；     
（2）求數列{a_n}的通項公式（寫出推證過程）；
（3）令b_n=a_n•（3ⁿ-1），求b_n的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根據a_n與2的等差中項等于S_n與2的等比中項建立等式關系，然后對n分別取1和2，求出數列{a_n}的前二項；
（2）將

an+2

2

=

2Sn

平方得Sn=

(an+2)2

8

，然后利用已知S_n求a_n的方法進行求解；
（3）b_n=a_n•（3ⁿ-1）=（4n-2）3ⁿ-（4n-2），（4n-2）3ⁿ是由等差數列4n-2與等比數列3ⁿ乘積構成，利用錯位相減法求和，最后求出b_n的前n項和T_n．

解答：解：（1）由題意可得

an+2

2

=

2Sn

∴

a1+2

2

=

2a1

解得a₁=2，
∴

a2+2

2

=

2(a1+a2)

解得a₂=6
（2）由

an+2

2

=

2Sn

得Sn=

(an+2)2

8

當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
即可得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0
∵各項為正的數列{a_n}，
∴a_n-a_n-1=4
因此數列{a_n}是以2為首項，4為公差的等差數列，故a_n=4n-2
（3）由b_n=a_n（3^n-1-1），得b_n=（4n-2）（3ⁿ-1）=（4n-2）3ⁿ-（4n-2）
記c_n=（4n-2）3ⁿ，其n項和為U_n，則由錯位相減法得U_n=3（1-3ⁿ）+（2n-1）3ⁿ⁺¹+3=（2n-2）3ⁿ⁺¹+6
∴Tn=(2n-2)3n+1+6-

n(2+4n-2)

2

=(2n-2)3n+1+6-2n2．

點評：本題主要考查了等差中項、等差數列的通項和錯位相減法在求和中的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．