Question

【題目】如圖在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，為直角三角形，其中為直角頂點，.分別是線段上的動點，且四邊形為平行四邊形.

（1）求證：平面，平面；

（2）試探究當二面角從0°增加到90°的過程中，線段在平面上的投影所掃過的平面區域的面積；

（3）設，且為等腰三角形，當為何值時，多面體的體積恰好為？

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2） （3）

【解析】

（1）先通過線面平行的判定定理，證得平面，通過線面平行的性質定理，證得，由此證得平面；同理證得平面.

（2）畫出為、時的投影，由此判斷出線段在平面上的投影所掃過的平面區域，進而求得區域的面積.

（3）先求得三棱錐的面積為，通過分割的方法，得到，分別求得與的關系式，再由列方程，解方程求得的值.

（1）∵四邊形為平行四邊形，

∴．而面，面，

∴面．而面，面面，

∴∥．而面，面，

∴∥平面．同理，∥平面；

（2）∵，

∴在平面上的投影滿足，即在線段的中垂線上．

如圖所示，將補成邊長為的正，

當二面角為角時，即點在平面上，此時為，

當二面角為角時，此時為中點，

故在平面上的投影所掃過的平面區域為，而，

故線段在平面上的投影所掃過的平面區域的面積為；

（3）∵，，且為等腰三角形，∴．

取中點，易得：，，，

滿足：，根據勾股定理可知．

∴平面．∴．

而多面體的體積恰好為，即多面體的體積恰為四面體體積的一半．

連接．

，∴．

，∴．

∴，

∴，整理：，即，

解得：（舍去）．