Question

【題目】數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題的素養.因為運算,數的威力無限;沒有運算,數就只是一個符號.對數運算與指數冪運算是兩類重要的運算.

(1)對數的運算性質降低了運算的級別,簡化了運算,在數學發展史上是偉大的成就.對數運算性質的推導有很多方法.請同學們根據所學知識推導如下的對數運算性質:如果,且,,那么;

(2)請你運用上述對數運算性質計算的值;

(3)因為,所以的位數為4(一個自然數數位的個數,叫做位數).請你運用所學過的對數運算的知識,判斷的位數.(注)

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) (3)的位數為6677

【解析】

(1)根據指數與對數的轉換證明即可.

(2)根據對數的運算性質將真數均轉換成指數冪的形式再化簡即可.

(3)分析的值的范圍再判斷位數即可.

(1)方法一:

設

所以

所以

所以,得證.

方法二:

設

所以

所以

所以

所以

所以

方法三:

因為

所以

所以得證.

(2)方法一:

.

方法二:

.

(3)方法一:

設,

所以

所以

所以

所以

因為

所以

所以的位數為6677

方法二:

設

所以

所以

所以

所以

因為,

所以有6677位數,即的位數為6677