Question

已知三次函數f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d(2a＜b)在R上單調遞增，則

a+b+c

b-2a

的最小值為

4

．

Answer 1

分析：函數f（x）在R上單調遞增，則有f′（x）≥0恒成立，得到關于a，b，c的條件，把

a+b+c

b-2a

中的c用a，b表示，再運用基本不等式可求f（x）的最小值．

解答：解：f′（x）=ax²+bx+c，
因為三次函數f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d(2a＜b)在R上單調遞增，
所以f′（x）=ax²+bx+c≥0恒成立，則有

a＞0 b2-4ac≤0

，所以c≥

b2

4a

．
則

a+b+c

b-2a

≥

a+b+ b2 4a

b-2a

=

(2a+b)2

4a(b-2a)

=

[(b-2a)+4a]2

4a(b-2a)

≥

[2 (b-2a)4a ]2

4a(b-2a)

=4，當且僅當b-2a=4a，即b=6a時取“=”號．
所以

a+b+c

b-2a

的最小值為4．
故答案為：4．

點評：本題考查應用導數研究函數的單調性及基本不等式求最值問題，考查分析問題解決問題的能力，屬綜合題．