Question

【題目】已知圓x2+y2=4上一定點A（2，0），B（1，1）為圓內一點，P，Q為圓上的動點．

（1）求線段AP中點的軌跡方程；
（2）若∠PBQ=90°，求線段PQ中點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設AP中點為M（x，y），

由中點坐標公式可知，P點坐標為（2x﹣2，2y）

∵P點在圓x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．

故線段AP中點的軌跡方程為（x﹣1）2+y2=1

（2）解：設PQ的中點為N（x，y），

在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，

設O為坐標原點，則ON⊥PQ，

所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，

所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．

故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．

【解析】（1）設出AP的中點坐標，利用中點坐標公式求出P的坐標，據P在圓上，將P坐標代入圓方程，求出中點的軌跡方程．（2）利用直角三角形的中線等于斜邊長的一半得到|PN|=|BN|，利用圓心與弦中點連線垂直弦，利用勾股定理得到
|OP|2=|ON|2+|PN|2 ， 利用兩點距離公式求出動點的軌跡方程．