Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABNCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE= ，∠BAD=60°，G為BC的中點．
（1）求證：FG∥平面BED；
（2）求證：平面BED⊥平面AED；
（3）求直線EF與平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：BD的中點為O，

連接OE，OG，在△BCD中，

∵G是BC的中點，

∴OG∥DC，且OG= DC=1，

又∵EF∥AB，AB∥DC，

∴EF∥OG，且EF=0G，

即四邊形OGEF是平行四邊形，

∴FG∥OE，

∵FG平面BED，OE平面BED，

∴FG∥平面BED；

（2）

證明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，

由余弦定理可得BD= ，僅而∠ADB=90°，

即BD⊥AD，

又∵平面AED⊥平面ABCD，

BD平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，

∴BD⊥平面AED，

∵BD平面BED，

∴平面BED⊥平面AED

（3）

解：∵EF∥AB，

∴直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角，

過點A作AH⊥DH于點H，連接BH，

又平面BED∩平面AED=ED，

由（2）知AH⊥平面BED，

∴直線AB與平面BED所成的為∠ABH，

在△ADE，AD=1，DE=3，AE= ，由余弦定理得cos∠ADE= ，

∴sin∠ADE= ，

∴AH=AD ，

在Rt△AHB中，sin∠ABH= = ，

∴直線EF與平面BED所成角的正弦值

【解析】（1）利用中位線定理，和平行公理得到四邊形OGEF是平行四邊形，再根據線面平行的判定定理即可證明；
（2）根據余弦定理求出BD= ，繼而得到BD⊥AD，再根據面面垂直的判定定理即可證明；
（3）先判斷出直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角，再根據余弦定理和解直角三角形即可求出答案．
本題考查了直線與平面的平行和垂直，平面與平面的垂直，直線與平面所成的角，考查了空間想象能力，運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．