Question

【題目】已知函數，

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若函數在區間上有1個零點，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使得在上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ;(3)見解析.

【解析】試題分析：（1）當時，得到，求得，利用和，即可求解函數的單調區間；

（2）由，分和兩種情況分類討論，得到函數的單調性與極值，結合函數的圖象，即可求解實數的取值范圍；

（3）假設存在正整數，使得在上恒成立，分類參數得出對恒成立，設函數，求得，求得函數單調性與極值，即可求解實數的最大值.

試題解析：

（1）當時， ， ．

令，解得，令，解得，

∴的單調增區間為，單調減區間為．

（2），

當時，由，知，

所以， 在上是單調增函數，且圖象不間斷，

又，∴當時， ，

∴函數在區間上沒有零點，不合題意．

當時，由，解得，

若，則，故在上是單調減函數，

若，則，故在上是單調增函數，

∴當時， ，

又∵， 在上的圖象不間斷，

∴函數在區間上有1個零點，符合題意．

綜上所述， 的取值范圍為．

（3）假設存在正整數，使得在上恒成立，

則由知，從而對恒成立（*）

記，得，

設， ，

∴在是單調增函數，

又在上圖象是不間斷的，

∴存在唯一的實數，使得，

∴當時， 在上遞減，

當時， 在上遞增，

∴當時， 有極小值，即為最小值， ，

又，∴，∴ ，

由（*）知， ，又， ，∴ 的最大值為3，

即存在最大的正整數，使得在上恒成立．