Question

【題目】如圖，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 ， DD1⊥底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三條棱的長組成公比為 的等比數列，

（1）求異面直線AD1與BD所成角的大小；
（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：不妨設AD=1，∵AD，AB，AA1三條棱的長組成公比為 的等比數列，∴AB= ，AA1=2．

在△ABD中，DB2= =1，解得DB=1．∴AD2+DB2=AB2，∠ADB=90°．

∴AD⊥DB．

∵DD1⊥底面ABCD，DB平面ABCD，∴DD1⊥DB，

又AD∩DD1=D，

∴DB⊥平面ADD1，

∴DB⊥AD1，

∴異面直線AD1與BD所成角為90°

（2）解：由（1）可得：DB⊥平面ADD1．

在Rt△ADD1中，經過點D作DO⊥AD1，垂足為O，連接OB，則OB⊥AD1．

∴∠BOD即為二面角B﹣AD1﹣D的平面角．

在Rt△ADD1中，OD= = = ．

在Rt△ODB中，tan∠BOD= = = ．

∴∠BOD=arctan ．

【解析】（1）不妨設AD=1，由AD，AB，AA1三條棱的長組成公比為 的等比數列，可得AB= ，AA1=2．在△ABD中，利用余弦定理可得：DB=1．利用勾股定理的逆定理可得∠ADB=90°．由DD1⊥底面ABCD，可得DD1⊥DB，可得DB⊥平面ADD1 ， 即可得出異面直線AD1與BD所成角．（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD1 ． 在Rt△ADD1中，經過點D作DO⊥AD1 ， 垂足為O，連接OB，可得OB⊥AD1 ． ∠BOD即為二面角B﹣AD1﹣D的平面角．利用直角三角形的邊角關系即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．