Question

【題目】已知，是橢圓：上的兩點，線段的中點在直線上.

（1）當直線的斜率存在時，求實數的取值范圍；

（2）設是橢圓的左焦點，若橢圓上存在一點，使，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設中點，利用點差法得，由點在橢圓內部得，即可求解k的范圍

（2）向量坐標化得，，弦長公式得由點在橢圓上，得，進而得AB方程，與橢圓聯立得，則可求

（1）設，，則，，

兩式相減得：，

由線段的中點在直線上，可設此中點，因為直線的斜率存在，所以，

設其斜率為，由式得，即.

由于弦的中點必在橢圓內部，則，解得.

又，所以斜率的取值范圍為.

（2）由（1）知，，因為橢圓的左焦點為，

所以，，設，則，

，，，

同理可得，因為點在橢圓上，所以，

解得.當時，，直線的方程為，

代入得，由根與系數關系得.

則.

由對稱性知，當時也成立，.