【題目】已知橢圓C：
的左右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓C與A、B兩點，△AF2B的周長為
，且橢圓C經過點
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當AB的中點坐標為
時，求△AF2B的面積．
【答案】（1）
y2＝1（2）
【解析】
（1）根據橢圓的定義求出a
，再由橢圓上的點滿足橢圓方程求出
即可.
（2）根據已知設出直線方程，將直線與橢圓聯立，利用中點弦公式求出直線方程，
再由弦長公式以及點到直線的距離即可求解.
（1）∵△AF2B的周長為4
，故4a＝4，即a，
又橢圓經過點（1，
），∴
1，即b＝1，
∴橢圓方程為y2＝1．
（2）由橢圓方程可知F1（﹣1，0），F2（1，0）．
∵AB的中點（
，
）在第二象限，顯然直線AB有斜率且斜率大于0，
設直線AB的方程為y＝k（x+1）（k＞0），
代入橢圓方程可得：（
k2）x2+2k2x+k2﹣1＝0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），即
，
解得：k＝1，于是x1x2＝0，
∴|AB|
．
又直線AB的方程為：y＝x+1，F2（1，0），
∴F2到直線AB的距離d
，
∴△ABF2的面積為
．
靈星計算小達人系列答案
孟建平錯題本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
是橢圓
：
上的兩點，線段
的中點在直線
上.
（1）當直線的斜率
存在時，求實數的取值范圍；
（2）設
是橢圓的左焦點，若橢圓上存在一點
，使
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年8月8日是我國第十個全民健身日，其主題是：新時代全民健身動起來。某市為了解全民健身情況，隨機從某小區居民中抽取了40人，將他們的年齡分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖。
（1）試求這40人年齡的平均數、中位數的估計值；
（2）（i）若從樣本中年齡在[50，70）的居民中任取2人贈送健身卡，求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率；
（ⅱ）已知該小區年齡在[10，80]內的總人數為2000，若18歲以上（含18歲）為成年人，試估計該小區年齡不超過80歲的成年人人數。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正方體
的棱長為2，P是BC的中點，點Q是棱
上的動點．
（1）點Q在何位置時，直線
，DC，AP交于一點，并說明理由；
（2）求三棱錐
的體積；
（3）棱上是否存在動點Q，使得
與平面
所成角的正弦值為
，若存在指出點Q在棱上的位置，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩品牌計劃入駐某商場，該商場批準兩個品牌先進場試銷
天。兩品牌提供的返利方案如下：甲品牌無固定返利，賣出
件以內（含件）的產品，每件產品返利元，超出件的部分每件返利
元；乙品牌每天固定返利
元，且每賣出一件產品再返利
元。經統計，兩家品牌在試銷期間的銷售件數的莖葉圖如下：
（Ⅰ）現從乙品牌試銷的天中隨機抽取天，求這天的銷售量中至少有一天低于的概率.
（Ⅱ）若將頻率視作概率，回答以下問題：
①記甲品牌的日返利額為
（單位：元），求的分布列和數學期望；
②商場擬在甲、乙兩品牌中選擇一個長期銷售，如果僅從日返利額的角度考慮，請利用所學的統計學知識為商場作出選擇，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1,在正方形
中，
是
的中點，點
在線段
上,且
.若將
分別沿
折起，使
兩點重合于點
,如圖2.
圖1 圖2
(1)求證:
平面
；
(2)求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，曲線
(α為參數)經過伸縮變換
得到曲線C2．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求C2的普通方程；
(2)設曲線C3的極坐標方程為
，且曲線C3與曲線C2相交于M，N兩點，點P(1，0)，求
的值．
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