Question

已知對?x≥2，不等式x+

1

x

≥a恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：先判斷出f（x）=x+

1

x

在[2，+∞）上單調性，進而利用x的范圍確定f（x）的范圍，進而利用題設不等式恒成立求得a的范圍．

解答： 解：∵f（x）=x+

1

x

在[2，+∞）上單調遞增，
∴f（x）=x+

1

x

≥2+

1

2

=

5

2

，當且僅當x=2時取等號，
∵x≥2，不等式x+

1

x

≥a恒成立，
∴a≤

5

2

，
故答案為（-∞，

5

2

]

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．注意等號成立的條件，當等號不成立時刻利用函數的單調性來解決．