Question

已知數列{a_n}滿足a_na_n+1a_n+2a_n+3=24，且a₁=1，a₂=2，a₃=3，則a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知條件推導出數列{a_n}是以4為周期的周期數列，由此能求出a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄的值．

解答： 解：∵數列{a_n}滿足a_na_n+1a_n+2a_n+3=24，
∴a₁a₂a₃a₄=24，
a₄=

24

a1a2a3

=

24

1×2×3

=4，
∵a_na_n+1a_n+2a_n+3=24，
∴a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=24，
∴a_n+4=a_n，
∴數列{a_n}是以4為周期的周期數列，
2014=503×4+2，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=503×（1+2+3+4）+1+2
=5033．
故答案為：5033．

點評：本題考查數列的前2014項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數列的周期性的合理運用．