Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+ +5（常數a，b∈R）滿足f（1）+f（﹣1）=14．
（1）求出a的值，并就常數b的不同取值討論函數f（x）奇偶性；
（2）若f（x）在區間（﹣∞，﹣ ）上單調遞減，求b的最小值；
（3）在（2）的條件下，當b取最小值時，證明：f（x）恰有一個零點q且存在遞增的正整數數列{an}，使得 =q +q +q +…+q +…成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（1）+f（﹣1）=14得（a+b+5）+（a﹣b+5）=14，所以解得a=2；

所以f（x）= ，定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）；

當b=0時，對于定義域內的任意x，有f（﹣x）=f（x）=2x2+5，所以f（x）為偶函數．

當b≠0時，f（1）+f（﹣1）=14≠0，所以f（﹣1）≠﹣f（1），所以f（x）不是奇函數；f（﹣1）﹣f（1）=﹣2b≠0，所以f（x）不是偶函數；

所以，b=0時f（x）為偶函數，b≠0時，f（x）為非奇非偶函數

（2）解：f′（x）= = =0，解得x= ，所以x∈（﹣∞， ）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞， ）上單調遞減，又f（x）在（﹣∞，﹣ ）上單調遞減，所以 ，解得 b≥﹣2，所以b的最小值是﹣2
（3）解：在（2）的條件下，f（x）= ；

當 x＜0時，f（x）＞0恒成立，函數f（x）在（﹣∞，0）上無零點；

當 x＞0時，f′（x）= ＞0，所以函數f（x）在（0，+∞）上遞增，又f（ ）= ＜0，f（1）=5＞0；

∴f（x）在（ ，1）上有一個零點q，即q∈ ，且f（q）=2 =0，整理成 ，所以 ；

又 +…，所以 +…，且an=3n﹣2

【解析】（1）根據條件很容易求出a，討論奇偶性根據定義即可，注意對于非奇非偶的，要舉出反例．（2）利用導數求出f（x）的單調區間，再與所給單調區間比較即可求b的最小值．（3）說f（x）有一個零點，所以我們先來找f（x）的零點，找到之后再看怎樣讓它滿足所給等式即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的奇偶性和利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．