Question

【題目】已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（ ，0），將函數f（x）圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移0.5π個單位長度后得到函數g（x）的圖象；
（1）求函數f（x）與g（x）的解析式；
（2）當a≥1，求實數a與正整數n，使F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）恰有2019個零點．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，

∴ω= =2，

又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（ ，0），φ∈（0，π），

故f（ ）=sin（2× +φ）=0，得φ= ，所以f（x）=cos2x．

將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，

再將y=cosx的圖象向右平移0.5π個單位長度后得到函數g（x）=cos（x﹣0.5π）的圖象，

∴g（x）=sinx

（2）解：∵φ（x）=asinx+cos2x=0（∵sinx≠0），

a=﹣ m（x），可得m（x）= =2sinx﹣ ，m′（x）=2cosx+ = ，

令m′（x）=0得x= ， ，

∴m（x）在（0， ）上單調遞增，（ ，π）與（π， ）上單調遞減，（ ，2π）上單調遞增，

當a＞1時，m（x）=a在（0，2π）有2解；

則a=1時，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，

而2019÷3=673，所以n=673×2=1346，

∴存在a=1，n=1346時，φ（x）有2019個零點

【解析】（1）依題意，可求得ω=2，φ= ，利用三角函數的圖象變換可求得g（x）=sinx；（2）由于φ（x）=asinx+cos2x=0（sinx≠0），a=﹣ m（x），可得m（x）= =2sinx﹣ ，m′（x）=2cosx+ = ，令m′（x）=0得x= ， ，可得m（x）在（0， ）上單調遞增，（ ，π）與（π， ）上單調遞減，（ ，2π）上單調遞增，分析可知a=±1時，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2019÷3=673，得n=673*2=1346，從而存在a=1，n=1346或a=﹣1，n=1346時，φ（x）有2019個零點．