Question

【題目】如圖，在直棱柱

（I）證明：；

（II）求直線所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】（I）見解析（II）

【解析】

試題（I）根據直棱柱性質，得⊥平面ABCD，從而AC⊥，結合∩BD=B，證出AC⊥平面，從而得到；（II）根據題意得AD∥，可得直線與平面所成的角即為直線AD與平面所成的角．連接，利用線面垂直的性質與判定證出⊥平面，從而可得．由AC⊥，可得⊥平面，從而得到與AD與平面所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根據Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△中算出，可得，由此即可得出直線與平面所成的角的正弦值

試題解析：（1）因為平面，所以,因為故面，所以；

（2）以A為原點，AB所在邊為x軸，AD所在邊為y軸，AA1所在邊為z軸建立空間直角坐標系，則，所以，；

因為，，所以，

因為，所以，

故，所以，

設為的法向量，

則，令，

所以為的一個法向量；

因為，，所以

所以直線所成角的正弦值.