Question

【題目】甲、乙兩廠均生產某種零件.根據長期檢測結果：甲、乙兩廠生產的零件質量（單位：）均服從正態分布，在出廠檢測處，直接將質量在之外的零件作為廢品處理，不予出廠；其它的準予出廠，并稱為正品.

（1）出廠前，從甲廠生產的該種零件中抽取10件進行檢查，求至少有1片是廢品的概率；

（2）若規定該零件的“質量誤差”計算方式為：該零件的質量為，則“質量誤差”.按標準，其中“優等”、“一級”、“合格”零件的“質量誤差”范圍分別是，、（正品零件中沒有“質量誤差”大于的零件），每件價格分別為75元、65元、50元.現分別從甲、乙兩廠生產的正品零件中隨機抽取100件，相應的“質量誤差”組成的樣本數據如下表（用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率）：

質量誤差
甲廠頻數	10	30	30	5	10	5	10
乙廠頻數	25	30	25	5	10	5	0

（ⅰ）記甲廠該種規格的2件正品零件售出的金額為（元），求的分布列及數學期望；

（ⅱ）由上表可知，乙廠生產的該規格的正品零件只有“優等”、“一級”兩種，求5件該規格零件售出的金額不少于360元的概率.

附：若隨機變量.則；，，.

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）詳見解析（ⅱ）

【解析】

（1）求得沒有廢品的概率之后，利用對立事件概率公式可求得結果；

（2）（ⅰ）首先確定“優等”、“一級”、“合格”的概率，接著確定所有可能的取值，求解出每個取值對應的概率后可得分布列，由數學期望計算公式計算可得期望；

（ⅱ）利用構造不等式可確定可能的取值，利用二項分布概率公式可求得結果.

（1）由正態分布可知，抽取的一件零件的質量在之內的概率為，

則這件質量全都在之內（即沒有廢品）的概率為；

則這件零件中至少有件是廢品的概率為.

（2）（ⅰ）由已知數據，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，得該廠

生產的一件正品零件為“優等”、“一級”、“合格”的概率分別為；

則的可能取值為元，有：

；；

；；

；，

得到的分布列如下：

	150	140	130	125	115	100

則數學期望為：

（元）.

（ⅱ）設乙廠生產的件該零件規格的正品零件中有件“優等”品，則有件“一級”品，

由已知有，解得：，則取或.

故所求的概率為：.