Question

【題目】已知函數f（x），則函數y＝f（f（x））﹣1的所有零點構成的集合為_____.

Answer 1

【答案】{1，3，9}

【解析】

根據零點定義解方程，求出零點．

函數y＝f[f（x）]﹣1的零點，即求方程f[f（x）]﹣1＝0的解，利用換元法進行求解即可.

解：由y＝f（f（x））﹣1＝0得f（f（x））＝1，

設t＝f（x），則等價為f（t）＝1，

當x≤1時，由f（x）＝x＝1得x＝1，

當x＞1時，由f（x）＝log2（x﹣1）＝1得x＝3，

即t＝1或t＝3，

當x≤1時，由f（x）＝x＝1，得x＝1；由f（x）＝x＝3，得x＝3（舍），故此時x＝1；

當x＞1時，由f（x）＝log2（x﹣1）＝1得x＝3；由f（x）＝log2（x﹣1）＝3，得x＝9，

綜上x＝1，或x＝3或x＝9．

所以函數y＝f[f（x）]﹣1的所有零點所構成的集合為：{1，3，9}

故答案為：{1，3，9}.