Question

【題目】已知函數（， ），且對任意，都有.

（Ⅰ）用含的表達式表示；

（Ⅱ）若存在兩個極值點， ，且，求出的取值范圍，并證明；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷零點的個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：利用賦值法求出關系，求函數導數，要求函數有兩個極值點，只需在內有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，再根據函數圖象和極值的大小判斷零點的個數.

試題解析：（Ⅰ）根據題意：令，可得，

所以，

經驗證，可得當時，對任意，都有，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，

所以 ，

令，要使存在兩個極值點， ，則須有有兩個不相等的正數根，所以

或

解得或無解，所以的取值范圍，可得，

由題意知 ，

令 ，則 ．

而當時， ，即，

所以在上單調遞減，

所以

即時， ．

（Ⅲ）因為 ， ．

令得， ．

由（Ⅱ）知時， 的對稱軸， ， ，所以.

又，可得，此時， 在上單調遞減， 上單調遞增， 上單調遞減，所以 最多只有三個不同的零點．

又因為，所以在上遞增，即時， 恒成立．

根據（2）可知且，所以，即，所以，使得．

由，得，又， ，

所以恰有三個不同的零點： ，1， ．

綜上所述， 恰有三個不同的零點．