Question

【題目】根據下列關系式，算出數列的前4項，然后猜想它的通項，并用數學歸納法證明你的猜想.

（1）；

（2）；

（3）.

Answer 1

【答案】（1），，證明見解析； （2），，證明見解析； （3），，證明見解析.

【解析】

分別求出數列的前幾項，猜測數列的通項公式，利用數學歸納法，作出證明即可.

（1）由，

令，則；令，則；令，則，

由此可猜測數列的通項公式為：，

證明如下：

①當時，，顯然成立；

②假設時，結論成立，即，

則當時，，

即當時也成立，

由①②可得對都成，即，.

（2）由，

當時，，即，即；

當時，，即，即；

當時，，即，即；

猜測數列的通項公式為：，

證明如下：

①當時，，顯然成立；

②假設時，結論成立，即，

則當時，，且，

兩式相減可得，即，

整理得，

即當時也成立，

由①②可得對都成，即，.

（3）由，

令，可得，即，因為，則；

令，可得，即，解得；

令，可得，即，解得；

令，可得，即，解得；

猜測數列的通項公式為：.

證明如下：

①當時，，命題成立；

②假設時，結論成立，即，

則當時，

，

所以，解得，

即當時也成立，

由①②可得對都成，即，.