【題目】已知二次函數
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）設函數
，記
為函數
極大值點，求證： 
.
【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.
【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，通過討論
的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）由題
則
，此時
，討論
的單調性可得， 
在
處取得極大值
，則
一定有
個零點，分別是
的極大值點和極小值點.
設
是函數
的一個極大值點，則
所以， 
，由
所以， 
此時
可證明
.
試題解析：（1）
當
時， 
在
上恒正；
所以， 
在
上單調遞增
當
時，由
得
，
所以當
時， 
單調遞減
當
時， 
單調遞增.
綜上所述，
當
時， 
在
上單調遞增；
當
時，
當
時， 
單調遞減；
當
時， 
單調遞增.
（2）
則
令
的
當
時， 
為增函數；
當
時， 
為減函數；
所以， 
在
處取得極大值
，
一定有
個零點，分別是
的極大值點和極小值點.
設
是函數
的一個極大值點，則
所以， 
又
所以， 
此時
所以
.
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
關于直線
對稱的圓為
．
（1）求圓C的方程；
（2）過點（1，0）作直線l與圓C交于A，B兩點，O是坐標原點，是否存在直線l，使得∠AOB=90°？若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區某農產品近幾年的產量統計如表：
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年產量 | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
（1）根據表中數據，建立
關于
的線性回歸方程
；
,
（2）若近幾年該農產品每千克的價格
（單位：元）與年產量滿足的函數關系式為
，且每年該農產品都能售完.
①根據（1）中所建立的回歸方程預測該地區2019（
）年該農產品的產量；
②當
為何值時，銷售額
最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】中小學生的視力狀況受到社會的廣泛關注，某市有關部門從全市6萬名高一學生中隨機抽取了400名，對他們的視力狀況進行一次調查統計，將所得到的有關數據繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.從左至右五個小組的頻率之比依次是
.
（1）抽取的400名學生中視力在
范圍內的學生約有多少人？
（2）如果視力達到5.0以上算正常，用樣本估計總體，求全市高一學生中視力正常的學生有多少人？
（3）從第4組和第5組的學生中按分層抽樣的方式抽取樣本容量為8人的樣本，再從樣本中隨機抽取2人進行問卷調查，請求出2人來自同一組的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知下圖中，四邊形 ABCD是等腰梯形， 
， 
， 
于M、交EF于點N， 
， 
，現將梯形ABCD沿EF折起，記折起后C、D為
、
且使
，如圖示．
(Ⅰ)證明： 
平面ABFE；,
(Ⅱ)若圖6中， 
，求點M到平面
的距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市為了制定合理的節水方案，對居民用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0,0.5），[0.5,1），[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
（I）求直方圖中的a值；
（II）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下表數據為某地區某種農產品的年產量
（單位：噸）及對應銷售價格
（單位：千元/噸）．
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 70 | 65 | 55 | 38 | 22 |
（1）若與有較強的線性相關關系，根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；
（2）若該農產品每噸的成本為13.1千元，假設該農產品可全部賣出，利用上問所求的回歸方程，預測當年產量為多少噸時，年利潤
最大？
（參考公式：回歸直線方程為
，其中
）
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