【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的零點個數；
（2）已知
，證明：當
時，
.
【答案】（1）當
或
時，
個零點；當
時，
個零點；當
時，
個零點.（2）見解析
【解析】分析：（1）先換元，令
得到
，轉化成求函數
的零點個數，再對a分類討論求函數
的零點個數. (2)先轉化成只需證
.再轉化成左邊函數的最大值，小于右邊函數的最小值.
詳解：（1）
.令
.
令，則函數與
的零點個數情況一致. 
.
1）時，
在
上單調遞增.
又
個零點.
2）
時，
在
上單調遞增，
上單調遞減.
.
①
即時，
，無零點.
②
即時，
個零點.
③
即時，
，又
.
又
，
，
令
，
在
上單調遞增，
兩個零點.
綜上：當或時，個零點；當時，個零點；當時，個零點.
（2）要證
，只需證.
令
，只需證：
.
令
，
在
上單調遞增，在
上單調遞減，
且
.
令
在
上單調遞增，
，
故.
心算口算巧算一課一練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
、
分別是橢圓
的左、右焦點.若
是該橢圓上的一個動點，
的最大值為1.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設直線
與橢圓交于
兩點，點
關于
軸的對稱點為
(與
不重合)，則直線
與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，有如下性質：如果常數
，那么該函數在
上是減函數，在
上是增函數.
（1）已知
，
，利用上述性質，求
的單調區間和值域；
（2）對于（1）中的函數和函數
，若對任意的
，總存在
使得
成立，求實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在平面直角坐標系
中，橢圓C：
離心率為
，其短軸長為2．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，A為橢圓C的左頂點，P，Q為橢圓C上兩動點，直線PO交AQ于E，直線QO交AP于D，直線OP與直線OQ的斜率分別為
，
，且
， 
，
（
為非零實數），求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商店經營的某種消費品的進價為每件14元，月銷售量
（百件）與每件的銷售價格
（元）的關系如圖所示，每月各種開支2 000元．
（1）寫出月銷售量（百件）關于每件的銷售價格（元）的函數關系式．
（2）寫出月利潤
（元）與每件的銷售價格（元）的函數關系式．
（3）當該消費品每件的銷售價格為多少元時，月利潤最大？并求出最大月利潤．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知向量
= (1，2sinθ)，
= (sin(θ+
)，1)，θ
R。
(1) 若⊥，求 tanθ的值；
(2) 若∥，且 θ (0，
)，求 θ的值
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