Question

是否存在常數(shù)a，b，c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)

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（an²+bn+c）對于一切正整數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：先假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，c，再令n=1，n=2，n=3構(gòu)造三個(gè)方程求出a，b，c，再用用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，證明時(shí)先證：（1）當(dāng)n=1時(shí)成立．（2）再假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，成立，即1•2²+2•3²+…+k（k+1）²=

k(k+1)

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（3k²+11k+10），再遞推到n=k+1時(shí)，成立即可．

解答：證明：假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，c，
在等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²
=

n(n+1)

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（an²+bn+c）中，
令n=1，得4=

1

6

（a+b+c）①
令n=2，得22=

1

2

（4a+2b+c）②
令n=3，得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3，b=11，c=10，
于是，對于n=1，2，3都有
1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)

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（3n²+11n+10）（*）成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于一切正整數(shù)n，（*）式都成立．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上述知，（*）成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，（*）成立，
即1•2²+2•3²+…+k（k+1）²
=

k(k+1)

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（3k²+11k+10），
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
1•2²+2•3²+…+k（k+1）²+（k+1）（k+2）²
=

k(k+1)

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（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²
=

(k+1)(k+2)

12

（3k²+5k+12k+24）
=

(k+1)(k+2)

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[3（k+1）²+11（k+1）+10]，
由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)，（*）式也成立．
綜上所述，當(dāng)a=3，b=11，c=10時(shí)題設(shè)的等式對于一切正整數(shù)n都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查研究存在性問題和數(shù)學(xué)歸納法，對存在性問題先假設(shè)存在，再證明是否符合條件，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．