Question

已知函數.

(1) 當時，求函數的單調區間和極值；

(2) 若在上是單調函數，求實數a的取值范圍.

【解析】本試題考查了導數在研究函數中的運用。利用導數判定函數的單調性和求解函數的極值，以及運用逆向思維，求解參數取值范圍的問題。

 

Answer 1

【答案】

(1) 易知，函數的定義域為.

當時，.

當x變化時，和的值的變化情況如下表：

x	（0,1）	1	（1，+∞）
	-	0	+
	遞減	極小值	遞增

由上表可知，函數的單調遞減區間是（0,1）、單調遞增區間是（1，+∞）、

極小值是   （ 5 分 ）

(2) 由，得.

①若函數 為上單調增函數，  則在上恒成立，即不等式在上恒成立.  也即在上恒成立.又在上為減函數，.  所以.

 ② 若函數 為上單調減函數，  則在上恒成立，即在上恒成立.又在上為減函數，不存在最小值.  所以不成立.

綜上