Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數的值；

（Ⅱ）若函數在其定義域上是增函數，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）當時，函數的兩個極值點為，且，若不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，計算的值，求出的值即可；（Ⅱ）求得導數，由題意可得在恒成立，即有的最小值，運用基本不等式可得最小值，即可得到的范圍；（Ⅲ）函數在上有兩個極值點，方程有兩個不等的正根，求得兩根，求得范圍；不等式恒成立即為，而，設，求出導數，判斷單調性，即可得到的最小值，即可求得的范圍.

試題解析：（Ⅰ） ，所以，依題意知， ，所以.

（Ⅱ）函數的定義域是，若函數在其定義域上是增函數，則在區間上恒成立，即在區間上恒成立，因為，當且僅當時等號成立，所以，因此實數的取值范圍是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知， ，因為的兩個極值點為，且，所以是方程的兩個根，所以， ，不等式恒成立，即恒成立，而 ，由.所以，解得或，因為， ，所以舍去，所以.令， ， ，所以函數在上是減函數，所以，故.