Question

在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為

x=2cosα y=2+2sinα

（α為參數）M是C₁上的動點，P點滿足

OP

=2

OM

，P點的軌跡為曲線C₂
（Ⅰ）求C₂的方程；
（Ⅱ）在以O為極點，x 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ=

π

3

與C₁的異于極點的交點為A，與C₂的異于極點的交點為B，求|AB|．

Answer 1

分析：（I）先設出點P的坐標，然后根據點P滿足的條件代入曲線C₁的方程即可求出曲線C₂的方程；
（II）根據（I）將求出曲線C₁的極坐標方程，分別求出射線θ=

π

3

與C₁的交點A的極徑為ρ₁，以及射線θ=

π

3

與C₂的交點B的極徑為ρ₂，最后根據|AB|=|ρ₂-ρ₁|求出所求．

解答：解：（I）設P（x，y），則由條件知M（

x

2

，

y

2

）．由于M點在C₁上，
所以

x 2 =2cosα y 2 =2+2sinα

即

x=4cosα y=4+4sinα

從而C₂的參數方程為

x=4cosα y=4+4sinα

（α為參數）
（Ⅱ）曲線C₁的極坐標方程為ρ=4sinθ，曲線C₂的極坐標方程為ρ=8sinθ．
射線θ=

π

3

與C₁的交點A的極徑為ρ₁=4sin

π

3

，
射線θ=

π

3

與C₂的交點B的極徑為ρ₂=8sin

π

3

．
所以|AB|=|ρ₂-ρ₁|=2

3

．

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，以及軌跡方程的求解和線段的度量，屬于中檔題．