Question

【題目】如圖在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為，且圓C與y軸交于M,N兩點（點N在點M的上方），直線與圓C交于A，B兩點。

（1）若，求實數k的值。

（2）設直線AM，直線BN的斜率分別為，若存在常數使得恒成立？若存在，求出a的值.若不存在請說明理由。

（3）若直線AM與直線BN相較于點P，求證點P在一條定直線上。

Answer 1

【答案】（1）.

（2）存在實數，使得恒成立；理由見解析.

（3）證明見解析.

【解析】分析：（1）先設出直線的方程，利用圓中的特殊三角形：弦心距，半弦長和圓的半徑構成直角三角形，勾股定理求得結果；

（2）先假設存在，利用題的條件，得到其相關的式子，求得對應的值，得到結果；

（3）根據題意，得到點所滿足的條件，從而求得結果.

詳解：（1）∵圓： ∴圓心，半徑

∵直線與圓相交于，兩點，且

∴圓心到的距離為 ∴，解得：

∵ ∴

（2）∵圓與軸交于，兩點（點在點上方）

∴ ∴，設

直線與圓方程聯立：，化簡得：

∴，同理可求：

∵三點共線，且，

∴，化簡得：

∵ ∴，即

∴存在實數，使得恒成立．

（3）設 ∴ 且 ∴

由（2）知：，代入得：為定值

∴點在定直線上．