Question

在數列{a_n}和等比數列{b_n}中，a₁＝0，a₃＝2，b_n＝2a_n＋1(n∈N^*)．
(1)求數列{b_n}及{a_n}的通項公式；
(2)若c_n＝a_n·b_n，求數列{c_n}的前n項和S_n.

Answer 1

（1）a_n＝n－1（2）S_n＝4＋(n－2)·2^n＋1

(1)方法一，依題意b₁＝2，b₃＝2³＝8，
設數列{b_n}的公比為q，由b_n＝2a_n＋1>0，可知q>0.
由b₃＝b₁·q²＝2·q²＝8，得q²＝4，又q>0，則q＝2，
故b_n＝b₁q^n－1＝2·2^n－1＝2ⁿ，
又由2a_n＋1＝2ⁿ，得a_n＝n－1.
(2)依題意c_n＝(n－1)·2ⁿ.
S_n＝0·2¹＋1·2²＋2·2³＋…＋(n－2)·2^n－1＋(n－1)·2ⁿ，①
則2S_n＝0·2²＋1·2³＋2·2⁴＋…＋(n－2)·2ⁿ＋(n－1)·2^n＋1，②
①－②得
－S_n＝2²＋2³＋…＋2ⁿ－(n－1)·2^n＋1＝－(n－1)·2^n＋1，
即－S_n＝－4＋(2－n)·2^n＋1，故S_n＝4＋(n－2)·2^n＋1.
方法二，(1)依題意{b_n}為等比數列，則＝q(常數)，
由b_n＝2a_n＋1>0，可知q>0.
由＝2a_n＋1－a_n＝q，
得a_n＋1－a_n＝log₂q(常數)，故{a_n}為等差數列．
設{a_n}的公差為d，由a₁＝0，a₃＝a₁＋2d＝0＋2d＝2，得d＝1，
故a_n＝n－1.
(2)同方法一．