Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，且過點(diǎn)
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線 與圓 相切于點(diǎn) ，且 與橢圓 只有一個(gè)公共點(diǎn) .
①求證： ；
②當(dāng) 為何值時(shí)， 取得最大值？并求出最大值.

Answer 1

【答案】解：(I)橢圓E的方程為
（Ⅱ）①因?yàn)橹本� 與圓C: 相切于A,得 ,
即 ①
又因?yàn)? 與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)B ，
由 得 ,且此方程有唯一解.
則 即
②由①②,得
②設(shè) ，由 得
由韋達(dá)定理,
∵ 點(diǎn)在橢圓上,∴
∴
在直角三角形OAB中,

∴
【解析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，，再將點(diǎn)（，2）代入橢圓方程，解方程組即可得到。
（2）①根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式可以得到t，k，R的等量關(guān)系；再根據(jù)直線與橢圓的交點(diǎn)為一個(gè)，聯(lián)立方程，可得=0；結(jié)合兩個(gè)等式，消去t2即可得到。
②因?yàn)?/span>是直角三角形，故根據(jù)勾股定理可得,而OA長(zhǎng)為R，故要將B點(diǎn)坐標(biāo)用R表示出來，代入等式即可得到AB的長(zhǎng)度。